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我与约翰纳什的一段因缘
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| 2005-12-09 15:38更新 来源：转载文章 | 发表评论 |
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文/薛军
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一，
2003 年10月末的一天上午，我收到一封系主任发来的电子邮件，收件人还有一个俄国同学迪马。那时我在宾西法尼亚州立大学经济系读研究生，正处在博士论文的收尾和找工作的准备阶段。系主任的邮件写道：“明天约翰?纳什来我系访问，下午有30分钟的空档时间，你们愿不愿意跟他谈谈？”
如果一个红卫兵收到一封信，告诉他毛主席愿意跟他聊半个小时，想像一下他的心情， 你就会明白我的心情。约翰?纳什?！我与他真地有见面的缘份？多少人回忆一生时曾遗憾与同代的不朽人物缘悭一面，而我却能逃此遗憾，向心仪已久的纳什面聆十五分钟的教诲？
二，
纳什是普林斯顿大学的数学家，五十年代初发表了几篇短短的论文，成为博弈论的奠基作品，后来在经济学里广为应用，纳什也因此与人分享了1994年的诺贝尔经济学奖。纳什对经济学的贡献之一是纳什均衡。什么是纳什均衡？举个例子。假设我是银行的一名储户，还有一些和我一样的人也把钱存在银行里生利。假设有一天谣言四起，说银行要倒闭，结果人们纷纷跑去银行挤兑，在假定别人都挤兑的情况下，我最好也去挤兑，否则我的钱保不住。别人也是一样，如果他们相信大家都要挤兑，他们也会挤兑，最后人人都挤兑，这就是一个纳什均衡。反过来如果谣言被及时扑灭，我相信没人会去挤兑，那我也不去挤兑，何不让钱继续在银行里生利呢？这样一来，人人都不挤兑，这也是一个纳什均衡。
在上面这个例子里，每个人都要做出一个选择，挤兑还是不挤兑？自己选什么依赖于别人怎么选。现在假设每个人都做出了选择，这个时候，如果没有人后悔，说哎呀，早知道别人都这么选，我就不选这个了，那么我们就说这些人达到了一个纳什均衡。在均衡状态里，没有人愿意单方面地偏离自己的选择。
我们的生活里，处处都是纳什均衡。司机们在大街上遵守交通规则，是一个均衡，而他们在小巷里横冲直撞，也是一个均衡；朋友们在酒桌上各喝各的是一个均衡，而他们互相拼酒，一醉方休也是一个均衡；在反日情绪高涨时，人人抵制日货是一个均衡，而风浪过后，没人再抵制日货也是一个均衡；亲戚们互相往来时简单随意是一个均衡，而他们热情过度，你推我搡，还是一个均衡。生活中的纳什均衡千姿百态，可在纳什的眼里，它们都一样，都归结为同一个数学概念：不动点。
什么是不动点呢？想像有一个容器，里面充满了大量的小球，现在用一个勺子任意搅拌这容器里的小球，搅拌过后，每一个小球都重新占据了容器中的一个位置，如果某个小球的新位置和旧位置重合，那么这个小球就是一个不动点。数学里面有一类经典的定理，说的是这样的不动点总是存在的。无论你怎么搅拌，总有这样的不动点小球，以不变应万变，终点又回到起点！
我初次体会到不动点定理的神奇，是在1996年的冬天。当时我在吉林大学读研究生，正在准备自己的硕士论文。我那时想从博弈论的角度来理解国际货币体系的演变，从一战前的金本位制度，到两战之间的竞争性贬值，到二战后的布雷顿森林体系，再到这个体系的瓦解，各国政府的合作与背信，短期的利益和长期的声誉之间的权衡，似乎是贯穿其中的一条主线。就是在这个时候，我第一次接触到纳什均衡及其背后的数学原理：不动点定理。有一天晚上，我从教学楼回宿舍，路上被一种莫名奇妙的喜悦所占有。我刚刚弄懂不动点定理，只觉得它似乎与我知道的一个智力趣题有些关联。这道题是这样的：一个和尚周六早上七点钟开始上山，晚上七点钟到达山顶，周日早上七点钟开始下山，晚上七点钟到达山脚。现在要你证明山路上一定存在一点，使得和尚周六上山时经过这点的时刻，与周日下山时经过这点的时刻重合。
你看出这一点为什么是一个不动点了吗？把山路看成是容器，把山路上的点看成是容器里的小球，现在我们这样来搅拌这些小球：拿来一个小球甲，它对应山路上的一点，记下和尚周六经过这点的时刻，比如说9点15分，然后找到周日9点15分和尚所在的位置，它对应山路上另一点，也就是容器里的另一个小球乙，搅拌过后，甲占据了乙的位置。根据不动点定理，一定有一个小球，搅拌过后自己占据了自己的位置，也就是说和尚周六经过这个小球的时刻，与周日经过这个小球的时刻，是同一时刻！
纳什均衡和山路上的那一点一样，也是一个不动点，这就是纳什的洞察，至于如何找到相应的容器和小球并且如何搅拌，不过是枝节问题，并不比和尚上山的问题更难。
三，
第一次听说好莱坞要拍纳什的传记片《美丽心灵》，而且由《角斗士》的主角罗素?克洛扮演纳什的时候，我感觉很有趣：全副武装的纳什单挑二十世纪数学巨人冯诺伊曼，多么过瘾！据说年轻的纳什跟诺伊曼谈自己的想法时，被诺伊曼粗鲁地打断：你的想法不过是布劳维尔不动点定理的简单应用！诺伊曼说的没错，但纳什的贡献不是技术上的，而是观念上的。诺伊曼和经济学家摩根斯坦合著的《博弈论和经济行为》，通常被认为是博弈论的开山之作，然而从头到尾没有纳什均衡的影子。怎么定义一个游戏，用什么预测一个游戏的结局，纳什走了一条完全不同的道路。
被纳什冲撞过的巨人不仅有冯诺伊曼，还有爱因斯坦。纳什在普林斯顿念书的时候，曾经对相对论里的一个问题产生了一个想法，便去找爱因斯坦。爱因斯坦听了他的想法后，笑了笑对他说：“年轻人，你还应该再学点物理。”爱因斯坦没有想到，纳什的想法在八十年代受到了物理学家的重视，而这次他接受宾州大学统计系的邀请所作的三场公众讲座中，有一场就是关于相对论里的一个方程。我们经济系搭了统计系的便车，要来了他一天的时间，而我和迪马分到了这一天的半个小时，而我自己则得到了他的十五分钟。英谚有云，每人都有十五分钟的荣耀，此言不虚！十五分钟，我跟他说些什么呢？
没有别的选择，只有谈我的博士论文。博弈论有一个著名的例子叫囚徒悖论。撇开这里的寓言故事不谈，这个悖论的大意是有一伙人，每人都有两个选择，合作或背信。对这伙人来说，最理想的局面是大家都合作，但不管别人怎么选，任何一个个人的理性选择都是背信，结果所有人为了追逐私利都背信，结果大家同归于尽，谁也别想好。这正好是亚当?斯密“看不见的手”的反面。斯密看出价格机制会引导自私的人们无形当中个个变成了雷锋，而囚徒悖论说的是个人的精打细算可能会从集体上得不偿失。人们发现有一个办法可以解决囚徒的困境，那就是重复博弈：如果囚徒们一次又一次地面临同样的选择，他们就可以约定如下：让我们来合作，谁也别偷懒，否则我们全都偷懒，索性自暴自弃。这样一来，想偷懒的人就会有一个权衡，今天偷懒肯定是愉快的，但代价是从明天开始，安定团结的大好局面就会一去不返，如果我足够耐心，我不应该逞今天的一时之快。这当然很好。但这个办法有一个前提，就是这伙人可以准确完整地观察到他们的历史，如果这个系统里面有杂音，就算我偷懒，别人也未必会看到，或就算某些人看到，他们也打算息事宁人，不敢报复，那我还是会偷懒，合作还是不好维持。我的博士论文考虑的正是这个问题。在我的世界里，人们住在一个网络上，每个人都能看到他的邻居，但看不到更远的地方。这样，如果你看到你的邻居偷懒，你不知道这是因为他本身是一个坏邻居；还是因为他是一个好邻居，只不过在惩罚他的坏邻居。在这样的世界里，重复博弈能摆脱囚徒的困境吗？
我在我的论文里考虑了一个特例，在我的特例里，答案是肯定的，但是我需要设计一套非常复杂的奖惩机制来维持合作。复杂是一件坏事，但我找不到更简单的办法。
四，
约定的时间到了，我们敲响了纳什的门。一年以前在纽约州立大学石溪分校的博弈论年会上我曾见到过他，这一次并不觉得有什么不同。他满头银发，穿一身浅米色的西装，表情很安详，偶尔咧一咧嘴，像一个做了恶作剧的孩子。他说话很轻，在石溪的年会上他只问了一次问题，当时几百人的会场突然鸦雀无声，可我还是没听清他问的什么。这次好了，他就坐在我的对面。然而奇怪的是，我不觉得有暖流或其它超自然的力量通遍全身，只觉得非常平静自然。同学迪马很谦让，让我先谈。我简单交待了我的问题，心里希望他不要觉得这问题太无聊。他听得很仔细，听完后他说：“你是怎么做的呢？”我把我的想法定性地给他描述了一下，听完后他又说：“你具体是怎么做的呢？”我说：“具体的做法非常复杂，不是五分钟之内可以用话说完的。”他说：“如果你不告诉我具体的做法，我还是不能被你说服。”没有别的办法，我只好在黑板上勾勒了几步具体的程序，从他的眼神中我知道，他还是不满意。他期待的是一个洞察，而我却给了他一堆细节，但我尽了力，我的十五分钟焰火就这样放完了。我想起徐志摩当年在伦敦，与缠绵多病而风雅无比的英国女作家曼殊斐儿也只有二十分钟的一面缘，都引出他如烟如梦的思慕文章。我与纳什的会面，差可拟之。
五，
纳什这次来宾州州立大学访问，一共做了三个讲座，一个是《与时空和引力波有关的一个方程》，不知是不是他当年与爱因斯坦讨论过的那个问题。一个是《在非合作博弈中引进代理人来研究合作博弈》，纳什始终想要为诺伊曼和摩根斯坦的工作找到一个行为的基础，这个讲座是他在这方面的一个尝试。纳什的第三个讲座叫做《理想的货币与渐近理想的货币》，是关于国际货币体系的，正是我最开始接触博弈论时感兴趣的问题。
纳什的访问发生在《美丽心灵》获得奥斯卡最佳影片奖以后，他的到来得到了整个校园的空前欢迎，尤其是读本科的大学女生，我估计不少是罗素?克洛的忠实影迷。纳什曾感叹这部电影给他带来的变化：在这之前他去做学术访问，只得到同行的欢迎，尽管他已经得了诺奖；在这之后他变成超级明星，每到一地，前呼后拥，人们争相找他签名留影，看来诺贝尔奖的公众号召力，不敌奥斯卡奖。这次他来宾州访问，我们经济系的师生对此作了充分的心理准备，提前半个小时就来到现场，哪想到早就没有座位了，满场全是兴奋的少男少女。美国孩子爱热闹，又崇拜英雄，我们太低估他们的热情了。实在没有办法，老师们悻悻而归，我却硬挤了进去，跟人并排坐在过道的台阶上。我觉得自己也是一个追星族， 或者更确切地说，是一个追英雄族。纳什少年天才，21岁就发表了博弈论的奠基之作，并且在拓扑学和相对论里做出了重要贡献，后来得了精神分裂症，几十年流离失所，变成了一个被放逐的孤魂。没想到他慢慢恢复，在晚年又开始了工作和创造。他是一个英雄。
他的《理想货币》讲座开始了。他把他要讲的全文都印在了幻灯片上。他转过身去，背对大家，开始逐字逐句地念了起来，念的时候，抬起了右臂，手指幻灯的投影。如果你看过《美丽心灵》，你还记得纳什在五角大楼里手指大屏幕破译密码的镜头吗？跟那里一模一样。念完一页，他再换上下一页，有时他忘了转换处的话，又回到上一页查找。他就这样背对着听众，从头念到尾，一字不漏。他念完了以后，你无法想像听众的狂热，经久不息的掌声里，有同情，有敬佩，更有感动。这真是一个戏剧性的时刻，我不禁为没能入场的老师们感到惋惜。
纳什为什么对货币感兴趣，什么又是纳什理想的货币呢？纳什在卡耐基梅隆大学读本科的时候，修了一门国际贸易课，这也是他上过的唯一一门经济学课程。他被贸易伙伴之间的游戏所吸引，发现很多时候明明存在互利互惠的机会，双方却无法成交，就是因为缺少一个大家都能接受的货币，这样占了大便宜的一方，无法补偿吃了小亏的一方，双赢的局面无法实现。理想的货币，应该是一种各国商人都信赖的，能穷尽一切互惠机会的货币，它应该像温度、长度、或质量一样，是一个客观的、稳定的度量。（不知道当年秦始皇统一度量衡，统一货币，统一文字，哪一项统一最难完成？）到哪里去找这样一种理想的货币？美元？欧元？日元？纳什不相信任何一个国家或地区的货币，因为货币当局总有可能出于各种凯恩斯主义的目的，操纵自己的货币。纳什理想中的货币，是一个独立于政治，像尺子一样客观的对价值的度量。黄金呢？黄金的开采成本不确定，环境和政治上都不受欢迎，纳什心目中另有一个候选对象。
纳什受了美国的消费物价指数的启发，建议计算一个“工业消费物价指数”，把各种工业原料如铜、钨、银、原油等等都加进去，把这一篮子工业消费品的国际价格，当作一个标准的货币单位的基础，就像一米是对光在真空中一定时间内旅行距离的度量一样，一个货币单位就是对这一篮子工业原料的价值的度量。当然这度量不可能绝对稳定，这需要在选择篮子的成份时，尽量选择价格稳定的商品，尽量选择彼此独立的商品，这样就算一种商品涨价，也会被另一种商品的跌价所抵消。
纳什把他的这些想法告诉普林斯顿的经济学家，他们说你的想法已经不新了，读读哈耶克吧。纳什在他的讲座里也承认，哈耶克的许多想法都与他不谋而合。哈耶克也批评凯恩斯主义的机会主义货币政策，也怀疑政府对货币的垄断，也提出了用某种物价指数作为标准货币单位的基础，甚至建议私人机构发行货币，彼此竞争，看谁的货币币值稳定，最值得信赖。竞争的想法在纳什那里也得到了呼应，只不过竞争的主体换成了美元、欧元、日元、英镑等等。哪一种货币的购买力稳定，人们就用哪一种来做交易。这就是纳什的“渐近理想的货币”。
撇开技术上的细节，哈耶克和纳什都有一个基本的想法，那就是政治和货币相分离。就像只有政教分离，才能解放宗教一样，他们认为只有政币分离，市场经济才能获得理想的货币。
仔细想想，宗教和货币的确很像，相似之处，在于它们都需要大家的信任。 为了得到这种信任， 宗教不必是真的， 货币也不必有内在的价值。
最开始的时候货币本身是有价值的， 某一种商品 (比如说金银) 同时也起着货币的作用。 慢慢人们发现真正让货币起作用的， 并不是它本身有多贵重， 而在于人们普遍接受它。 人们接受它， 是因为每一个人都相信别人也会接受它。 这种信任感是看不见摸不着的， 它也不一定非要建立在一个看得见摸得着的东西上面。
最开始的时候宗教是非常较真儿的。人们真的相信教义里的神话和奇迹， 被许诺的惩罚和奖赏， 从而人们愿意遵守各种戒律， 认真履行自己在社会里的责任。 人们在这样的社会里尝到了信仰的甜头： 陌生人之间也可以信任和合作。 但是人们慢慢发现真正给他们带来甜头的，在于他们相信共同的东西， 他们相信共同的东西， 是因为每个人都相信别人也相信它。 这种信任感是看不见摸不着的， 它也不一定非要建立在一个看得见摸得着的东西上面。 一开始人们愿意按照一定的道德准则去生活， 是因为他们相信宗教所许诺的奖惩制度， 后来人们愿意按照一定的道德准则去生活， 是因为他们从这种生活方式中得到了幸福， 他们的社会从这种生活方式中得到了发展。
现在就算有人告诉他们， 你们的信仰是假的， 也不会有太大的关系： 一种宗教所衍生的道德准则， 是可以逐渐脱离母胎中的神学成分而独立起作用的。 宗教的伟大之处， 就在于它给人们养成了一种道德的习惯， 尽管这习惯最终会与它分离。
现在你来问这个社会里的一个人， 你信仰的东西明明是假的， 你怎么还信呢？ 你等于是在问他， 你手里的1美元明明只值4美分 ，因为1美元纸币的制作成本是4美分， 你怎么还把它当成是一美元呢? 宗教和货币这么像， 难怪每一张美元上都印着“In God We Trust”（我们相信上帝）。
经济系是纳什宾州之行的最后一站，下午他和我们谈完以后，系里的一位老师负责把他送到机场，临走时他指着我和迪马，问：“他们不送我到机场吗？”我和迪马受宠若惊，连连说一同去机场。到了机场，办完了手续，又简单聊了几句，我发现纳什的眼睛里有一些萧索的神情，好像在说没什么好说的了，就到这里吧。系里的那位老师及时地向纳什道别，我注意到纳什又恢复了他安详闲适的表情，像真正结束了一件工作后才有的那种轻松。在回来的路上，我们不知为什么讨论起有一类学术大师的魅力，他们讲起话来像雄辩的牧师传道，让你有恍然大悟的感觉，可过后却搞不清楚自己当时为什么那么兴奋，到底悟到了什么。纳什不是这一类大师，他安静、深邃、孤独，从少年天才的巅峰，到中年精神分裂的深渊，又经历老年诺贝尔奖的辉煌，77岁的他，在平静和孤独中继续行走。
来源：《当代金融家》 编辑：张一
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